فصل اول

مبانی توپولوژی

1-1- مقدمه

2-1- توپولوژی

3-1- توپولوژی عمومی

4-1- توپولوژی جبری

5-1- توپولوژی دیفرانسیلی

6-1- توپولوژی هندسی

7-1- کاربردها

توپولوژی شاخه‌ای از رياضيات است كه از تجريد برخى از ایده‌های هندسه و تحلیل نشأت گرفته است. در اصل كلمه توپولوژى از تركيب واژه يونانی توپوس[1] به معنى جا و مكان و گلوبوس[2] به معنى مطالعه و دلیل حاصل شده است. از جنبه تاريخى توپولوژی در سال 1847 توسط ليستنگ[3]، يكى از شاگردان گاوس معرفى شد. نام ديگرى كه در اوان بسط توپولوژى به اين موضوع اطلاق شد آناليز وضع بود.

از جنبه هندسى، توپولوژی مطالعه خواصی است كه به‌وسیله گروه معینى از تبديلات، يعنى همئومورفیسها[4] (همسان ریخت) حفظ می‌شوند. براى درك شهودى از مفهوم همسان ریخت، کره‌ای را تجسم كنيد كه به صورت بالونى لاستيكى باشد به‌طوری‌که بتوان آن را منبسط يا منقبض كرد بدون آنكه پاره شود يا اينكه دونقطه متمايز آن به هم وصل شود، معلوم است كه درنتیجه چنين تبديلاتى نقاطى كه در ابتدا به هم نزدیک بودند، در آخر نیز نزديک به هم باقى ماند. چنین تبديلات كره را همسان ریخت می‌نامند و شکل‌های مختلفى را كه درنتیجه اعمال همسان ریختها پدید می‌آیند دوبهدو همئومورف[5] (همسان) میگويند.

توپولوژی در دو زمینه به‌کلی متمايز بسط و توسعه يافت. توپولوژی مجموعه-نقطهاى (توپولوژی عمومى) نظريه مجرد عام پیوستگی توابع تعريف شده بر مجموعه‌های كلی است. اين نظريه، تحت تأثیر نظريه عمومی مجموعه‌ها، كه توسط كانتور[6] در حوالى سال 1880 تأسیس شده بود قرار گرفت و جنبش اساسى خود را از نظريه فضاهاى مترى (فضاهاى مجرد كه فاصلهاى بين نقاط آن تعريف شده است) شروع كرد که در سال 1906 توسط ریاضیدان فرانسوی ماریس فرشه^[7] معرفي شدند. ریاضیدان آلمانی فیلیکس هاسدورف^[8] در سال 1912 مفاهيم حد و پیوستگی را از مجموعههاى اعداد حقيقى به مجموعه‌های مجرد، با استفاده از مفهوم همسایگی یک نقطه، تعميم داد. بدين ترتیب، تعريفات كلي فضاهاى توپولوژی براى نخستين بار در آثار فرشه، هاسدورف و ریس ظاهر شدند. تعريف كامل فضاهاى توپولوژیک توسط ریاضيدان لهستانى كوراتوفسكى[9] و رياضيدان روسى، الكساندروف[10] ارائه شد.

زمينه دوم كه در واقع يک دهه قبل از تولد توپولوژی عمومى شروع شده بود، مطالعه نظام‌یافته توپولوژی جبرى، يا به عبارتى آناليز وضع بود كه توسط پوانكاره[11] در سالهای 1901-1895 معرفي شد. اين مبحث ملهم از برخي مسائل هندسه در مورد مسيرها و رویه‌های فضاهاى اقليدسى بود. بسط روش توپولوژی جبرى به‌طور اجتناب‌ناپذیری با مفهوم توپولوژى مجموعه-نقطه اى تلاقى كرد. مطالب این فصل فارغ از بحث بهینهسازی، جهت آشنایی با مفاهیم پایه‌ای توپولوژی و شاخههای آن ارائه شده است. خوانندگانی که بخواهند با صرفنظر از پایههای جبری، مفهوم هندسی توپولوژی را درک کنند میتوانند بخش 1-6 را مطالعه نمایند.

توپولوژی، مطالعه هندسه و نظریه مجموعه‌ها بر پایه مفاهیمی همچون بعد، تغییر شکل و فضا است. در واقع توپولوژی یک ساختار هندسی است که بر روی یک مجموعه تعریف می‌شود و روی ویژگی‌هایی از فضا که تحت تغییر شکل‌های پیوسته ثابت می‌ماند، بحث می‌کند. این تغییر شکل‌ها (مثلاً کشش یا خمش)، نامتغیرهای توپولوژیکی نام دارند که در این تغییر شکل‌ها، برش و اتصال مجدد مجاز نیست.